Operationsverstärker – Universalbausteine moderner Elektroniksysteme. Teil 2: Fallstudie Regelungstechnik

In der letzten Fallstudie zur Sensorik und Regelungstechnik wurde deutlich, dass Operationsverstärker in zahlreichen Einsatzbereichen als Universalbausteine der Elektronik sowohl aus technischer als auch aus wirtschaftlicher Sicht die sinnvollere Wahl darstellen. Anhand zweier exemplarischer Anwendungsbereiche wurde ihre unverzichtbare Rolle aufgezeigt: zum einen als Präzisionsverstärker in der Sensorik und zum anderen als P-Glied innerhalb eines PID-Reglers.

Der Einsatz eines analogen PID-Reglers mit Operationsverstärker ist besonders vorteilhaft, wenn die Regelgeschwindigkeit eines digitalen PID-Reglers aufgrund der begrenzten Bandbreite von ADC-/DAC-Schnittstellen und der damit verbundenen Latenzen nicht ausreicht oder auch wenn mehrere Regelstrecken parallel zu implementieren sind, wodurch die Prozessorlast und die Kosten deutlich steigen und die Wirtschaftlichkeit der elektronischen Baugruppe nachlässt.

Heute schließen wir die verbleibenden I- und D-Glieder ab, um den vollständigen mathematischen PID-Regler (siehe Teil 1) mit Operationsverstärker zu implementieren.

1. PID-Regler und das I-Glied - Integralregler

Der Integralregler eines PID-Reglers, auch I-Glied genannt, implementiert das Integral oder die integrale Komponente der Regelung. Das I-Glied reagiert auf die kumulative Summe der vergangenen Regelabweichungen und beschreibt die Aufsummierung einer Größe über die Zeit. Im I-Regler wird die Spannung über die Zeit integriert. Die schematische Darstellung eines Integrators oder Integrierverstärker ist nachfolgend dargestellt:

Die Integration wird durch den Operationsverstärker mit kapazitiver Rückkopplung realisiert. Der Kehrwert der Multiplikation RxC für die Werte des Widerstands R und der Kapazität C stellt die Integrationszeit des I-Glieds in Sekunden dar und nennt sich Integrationskonstante K:

Die Spannung am Ausgang Uausgang des I-Glieds wird anhand der folgenden Formel berechnet:

wobei die Spannung Uo die Anfangsspannung des Kondensators C ist.

2. PID-Regler und das D-Glied - Differentialregler

Der Differentialregler des PID-Reglers, oder auch kurz D-Glied genannt, reagiert auf die Veränderungsrate der Eingangsspannung. Die schematische Darstellung des Differentialreglers ist auf der folgenden Abbildung gezeigt:

Hohe Frequenzen werden durchgelassen, während niedrige Frequenzen gedämpft werden.Die mathematische Beschreibung des Differentialregler-Ausgangs wird wie folgt berechnet:

Im D-Glied des PID-Reglers wird die Änderungsrate der Eingangsspannung erfasst, was der Steigung der Spannungskurve entspricht. Die Steigung beschreibt die Änderung der Spannung bezogen auf die Änderung der Zeit. Mathematisch wird dies als Spannungsänderung pro Zeitänderung bezeichnet, also kurz als du/dt. Auf dieser Weise sorgt der Differentialregler für eine rasche Nachregelung des Ausgangssignals sollte sich die Angabe bzw. der Sollwert oder/ und der Istwert schnell ändern.

Die Kombination aus proportionalem, integralem und differenziellem Regler ergibt den PID-Regler. Dieser ermöglicht proportionale Reaktion auf Regelabweichungen, während der Integralanteil durch eine automatische Rückstellung verbleibende stationäre Fehler und Überschwingungen eliminiert. Der Differentialanteil stabilisiert den Regler und ermöglicht schnell auf Änderungen der Regelabweichung zu reagieren.

Die nachfolgende Schaltung zeigt die Implementierung eines parallelen PID-Reglers mit P-, I- und D-Glied: 

Paralleler PID-Regler

Alle 3 Regelungssignale summieren sich nach den Widerständen R7, R9 und R12 und erscheinen als einzige Steuerungsspannung am Eingang des Treibers, der wiederum das Stellglieds (Motor oder Aktuator) ansteuert. Der Widerstand R10 im Eingang des Differenzialzweigs ist möglichst klein zu wählen, so dass die Stabilität nicht beeinträchtigt wird, wodurch sich das Ansprechverhalten des Differentialreglers verbessert. 

Die parallele Struktur gemäß der Abbildung weist ein betriebliches Problem auf. Sollwertänderungen treten in der Praxis häufig in Form von Sollwertsprüngen auf. Dies gilt unabhängig davon, ob der Regler manuell bedient wird, in Kaskadenstruktur mit einem weiteren Regler arbeitet oder in diesem Fall über ein übergeordnetes System wie ein Mikrocontroller gesteuert wird.

Ein Sollwertsprung bewirkt einen entsprechenden Sprung der Regelabweichung. Der Differentialanteil des Reglers reagiert auf die zeitliche Änderung der Regelabweichung und erreicht infolgedessen seine Sättigungsgrenze. Dadurch wird auch das Regler-Ausgangssignal übersteuert. Der Sollwertsprung führt somit zu einer zeitweisen Blockierung der Regelungswirkung. Das Stellglied wird vollständig ausgesteuert. Infolge der übermäßigen Energiezufuhr kann die Regelgröße den Sollwert deutlich überschreiten. Es treten ausgeprägte Überschwingen auf; unter Umständen kommt es zu mehreren Schwingungen, bevor sich ein stabiler stationärer Zustand einstellt.

Zur Vermeidung des durch den Differentialanteil verursachten Überschwingens, wird der Differentialanteil nicht auf die Regelabweichung, sondern auf die Regelgröße (Prozessgröße) bezogen. Da die Regelabweichung definiert ist als

Regelabweichung = Sollwert - Istwert

werden Sollwertsprünge vom Differentialanteil nicht erfasst. Auf diese Weise wird ein durch Sollwertänderungen verursachtes Blockieren des Reglers vermieden.

Die Umsetzung der differentialen Korrektur im PID-Regler in Parallelstruktur ist relativ unkompliziert. Der Eingang des Differentialreglers wurde vom Ausgang des Fehlerverstärkers verlegt und stattdessen direkt mit dem Signal der Prozessgröße verbunden:

Paralleler PID-Regler mit differentialer Korrektur

Das Ausgangssignal des Differenzialreglers ist bereits negativ. Um eine negative Rückkopplung des Prozesses sicherzustellen, muss dieses Signal daher zum Ausgang der übrigen Regelungsanteile addiert werden.

Nach der Implementierung des PID-Reglers erfolgt die Parametrierung hinsichtlich Reaktionsverhalten, Stabilität und Genauigkeit. Hierzu werden die Regelparameter Kp, Ki und Kd der einzelnen Glieder iterativ an die Eigenschaften der Regelstrecke angepasst, bis das gewünschte Regelverhalten erzielt wird. Da jede Regelstrecke individuell ist, hängt vieles von ihren physikalischen Eigenschaften ab, wie Trägheit, Masse, Ansprechverhalten und der Dynamik des Stellgliedes.

Wichtig zu beachten ist, dass jeder Regelparameter separat eingestellt wird, während die jeweils anderen beiden Regelglieder deaktiviert sind.

Das dargestellte Diagramm zeigt das Regelverhalten mit verschiedenen Werten nur für das Kp-Koeffizient des P-Glieds (ohne I- und D-Glied):

Regelverhalten eines P-Reglers mit unterschiedlichen Koeffizienten Kp

Bei einem hohen Kp-Wert z. B. Kp=10, reagiert das System sehr schnell auf den Sollwertsprung. Dies führt jedoch zu einem starken Überschwingen und zu Schwingungen, bevor sich die Drehzahl stabilisiert. Das System ist zwar reaktionsschnell, jedoch nur eingeschränkt stabil und genau.

Mit mittleren Kp-Wert z. B. Kp=5 oder 2 ergibt sich ein Kompromiss zwischen Dynamik und Stabilität. Das Überschwingen ist geringer, und der Istwert nähert sich dem Sollwert vergleichsweise schnell und gleichmäßig an.

Ähnlich wie mit der Proportionalkomponente Kp erfolgt das Einstellen auch der Integral- Ki und Differenzialkomponente Kd hinsichtlich der gewünschten Reaktionsverhalten, Stabilität und Genauigkeit:

Das nachfolgende Diagramm zeigt die Reaktion des eingestellten parallelen PID-Reglers mit differentieller Korrektur:

Im Vergleich zu einem reinen P-Regler werden die Vorteile der PID-Regelung deutlich: Der Istwert erreicht dem Sollwert ohne nennenswerte Überschwingungen, was durch die Stabilisierung des I-Glied (Integralkomponente) erreicht wird, das schnelle Änderungen dämpft und das Regelverhalten stabilisiert. Zudem wird der Sollwert deutlich früher oder schneller erreicht, da das D-Glied (Differenzialkomponente) auf schnelle Änderungen der Regelstrecke bzw. des Rückführsignals reagiert und dadurch das dynamische Verhalten verbessert – als Gesamtregie aller 3 Glieder wird der Sollwert schneller und präziser erreicht.

3. Robustheit und Nichtlinearitäten

Mit der beschriebenen Einstellmethode lässt sich ein PID-Regler praxisnah einstellen. Da ein PID-Regler jedoch linear ist, kann er in einer nichtlinearen Umgebung stets nur für einen bestimmten Betriebsbereich optimal eingestellt werden. Abweichende Betriebspunkte können daher zu Instabilitäten oder Oszillationen führen.

Durch eine robustere und konservativere Parametrierung lässt sich dieses Verhalten abschwächen, wobei stets ein Zielkonflikt zwischen Genauigkeit und Reaktion besteht. Eine fundierte Analyse der Prozessdynamik ist daher entscheidend für eine zuverlässige Regelung.

In der vorliegenden Studie zur Regelungstechnik wurde demonstriert, wie Operationsverstärker zur Realisierung des Fehlerverstärkers sowie der Proportional-, Integral- und Differentialglieder eines PID-Reglers eingesetzt werden können. Die gezeigte Schaltungstopologie dient exemplarisch zur Veranschaulichung der vielfältigen Einsatzmöglichkeiten dieser universellen elektronischen Funktionsbausteine.

Autor:

M.Eng. Martin Radev

Geschäftsinhaber u. Leitender Elektronik-Entwickler